Bietet eine gut motivierte prägnante Einführung in die Analysis-1-Themen
Vielfach vorlesungserprobt und bestens zum Selbstlernen geeignet
Gezielte Fragen zur Wissens- und Verständnisüberprüfung: Nutzen Sie die interaktive Springer Nature Flashcards-App
Prof. Dr. Martin Brokate ist Professor i.R. für Mathematik an der Technischen Universität München.
Prof. Dr. Johannes Zimmer ist Professor für Analysis und Modellbildung an der Technischen Universität München.
Dr. Florian Lindemann ist Akademischer Rat an der Technischen Universität München.
Ziel dieses Lehrbuchs ist es, das Material des ersten Semesters eines Vorlesungszyklus zur Analysis prägnant und verständlich darzustellen und darüber hinaus Ausblicke und Ergänzungen zu geben, die den Stoff lebendig werden lassen.
Besonderer Wert wird auf die Motivation der zu behandelnden Themen gelegt. Zu Beginn des Buchs wird die mathematische Denkweise, insbesondere Beweistechniken und axiomatisches Vorgehen, ausführlich eingeführt. Dieses Buch basiert auf Vorlesungen, die regelmäßig und seit vielen Jahren an der TU München abgehalten werden.
Zahlreiche Abbildungen veranschaulichen die behandelten Konzepte und Ideen. Zudem ermöglicht dieses Lehrbuch den Zugriff auf mehr als 250 interaktive Aufgaben in der Springer Nature Flashcards-App, mit denen Wissen und Verständnis überprüft werden kann – hervorragend geeignet auch zur Prüfungsvorbereitung.
Inhaltsverzeichnis
1 Aussagen
1.1 Grundlagen
1.2 Verknupfung von Aussagen
1.3 Quantoren
2 Vollstandige Induktion
2.1 Summen- und Produktnotation
2.2 Die Beweismethode der vollstandigen Induktion
2.3 Verallgemeinerungen des Induktionsprinzips
2.4 Bonusmaterial und Anmerkungen
3 Mengen
3.1 Grundbegri_e der Mengenlehre
3.2 Mengenoperationen und ihre Rechenregeln
3.3 Indizierte Mengen
3.4 Mengen von Mengen
3.5 Geordnete Paare. Das Produkt zweier Mengen
3.6 Schlussbemerkungen
3.6.1 Cantors Werk und seine Rezeption
3.6.2 Zur De_nition der naturlichen Zahlen
4 Einige Beweistechniken
4.1 Kontraposition und Widerspruchsbeweis
4.2 Zum axiomatischen Aufbau der Mathematik
4.3 Die Jagd nach dem kleinsten Verbrecher
5 Reelle Zahlen
5.1 Axiomatische Charakterisierung
5.1.1 Korperaxiome
5.1.2 Anordnungsaxiome
5.1.3 Vollstandigkeit
5.2 Folgerungen aus den Korpereigenschaften
5.3 Potenzen
5.4 Elementare Ungleichungen
5.5 Absolutbetrag, Minimum und Maximum
5.6 Supremum und In_mum. Vollstandigkeit
5.7 Ausblick: Zum Archimedischen Axiom
6 Funktionen
6.1 Der Funktionsbegri
6.2 Eigenschaften von Abbildungen
6.3 Die Umkehrfunktion. Wurzeln
6.4 Komposition von Funktionen
7 Die komplexen Zahlen
7.1 Motivation
7.2 De_nition und elementare Eigenschaften komplexer Zahlen
7.3 Nachbemerkung und Ausblick
8 Folgen
8.1 Motivation
8.2 Folgen und Grenzwerte
8.3 Rechenregeln fur Grenzwerte
8.4 Vertraglichkeit von Grenzwert und Ungleichungen
8.4.1 Montone Folgen
8.5 Uneigentliche Konvergenz
8.6 Der Satz von Bolzano-Weierstra
8.6.1 Teilfolgen und Haufungspunkte
8.7 Limes superior und Limes inferior
8.8 Vollstandigkeit
8.9 Folgen komplexer Zahlen
8.10 Bonusmaterial
9 Reihen
9.1 Motivation und grundlegende Begri_e
9.2 Absolute Konvergenz
9.3 Weitere Konvergenzkriterien
9.4 Alternierende Reihen
9.5 Potenzreihen
9.6 Reihenprodukte
9.7 Bemerkungen und Ausblicke
10 Stetige Funktionen
10.1 Motivation
10.2 Grundlegende Begri_e
10.3 Satze uber stetige Funktionen
10.4 Uneigentliche Grenzwerte von Funktionen
10.5 Monotone Funktionen
10.6 Anmerkungen
11 Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen, Logarithmus
11.1 Die Exponentialfunktion im Reellen
11.2 Die Exponentialfunktion im Komplexen. Trigonometrische Funktionen
11.3 Die Kreiszahl
11.4 Polarkoordinaten
11.5 Tangens und hyperbolische Funktionen
11.6 Logarithmen
11.7 Die allgemeine Potenzfunktion
12 Di_erenzierbarkeit reeller Funktionen
12.1 Kontext. De_nition der Di_erenzierbarkeit
12.2 Rechenregeln
12.3 Eigenschaften di_erenzierbarer Funktionen
12.4 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
12.5 Hohere Ableitungen
12.6 Konvexe Funktionen
12.7 Schlussbemerkung: Nicht di_erenzierbare Funktionen
13 Folgen von Funktionen
13.1 Punktweise Konvergenz
13.2 Gleichma_ige Konvergenz
14 Das Integral
14.1 Grundlagen
14.2 Der Hauptsatz der Di_erential- und Integralrechnung
14.3 Integrationsregeln
14.4 Bonusmaterial: Integrationspraxis
14.4.1 Integration rationaler Funktionen
14.4.2 Integrale von Verkettungen rationalen Funktionen
14.5 Weitere Charakterisierungen von Regelfunktionen
14.6 Uneigentliche Integrale
14.7 Anwendung: Wallis'sches Produkt und Stirlingsche Formel
14.8 Ausblick
15 Vertauschungssatze
15.1 Punktweise Konvergenz: Drei Enttauschungen
15.2 Vertauschungssatze fur gleichma_ige Konvergenz
16 Potenzreihen und Taylorreihen
16.1 Gleichma_ige Konvergenz von Potenzreihen
16.2 Taylorreihen
16.3 Bonusmaterial
17 Einfuhrung in Di_erentialgleichungen
17.1 Separable Di_erentialgleichungen erster Ordnung
17.2 Inhomogene Gleichungen erster Ordnung
17.2.1 Integrierende Faktoren
17.2.2 Variation der Konstanten
17.3 Anwendung: Co_eingehalt im Blut
18 Unendliche Mengen
Ziel dieses Lehrbuchs ist es, das Material des ersten Semesters eines Vorlesungszyklus zur Analysis prägnant und verständlich darzustellen und darüber hinaus Ausblicke und Ergänzungen zu geben, die den Stoff lebendig werden lassen.
Besonderer Wert wird auf die Motivation der zu behandelnden Themen gelegt. Zu Beginn des Buchs wird die mathematische Denkweise, insbesondere Beweistechniken und axiomatisches Vorgehen, ausführlich eingeführt. Dieses Buch basiert auf Vorlesungen, die regelmäßig und seit vielen Jahren an der TU München abgehalten werden.
Zahlreiche Abbildungen veranschaulichen die behandelten Konzepte und Ideen. Zudem ermöglicht dieses Lehrbuch den Zugriff auf mehr als 250 interaktive Aufgaben in der Springer Nature Flashcards-App, mit denen Wissen und Verständnis überprüft werden kann – hervorragend geeignet auch zur Prüfungsvorbereitung.
Die Autoren
Prof. Dr. Martin Brokate ist Professor i.R. für Mathematik an der Technischen Universität München.
Prof. Dr. Johannes Zimmer ist Professor für Analysis und Modellbildung an der Technischen Universität München.
Dr. Florian Lindemann ist Akademischer Rat an der Technischen Universität München.
Ziel dieses Lehrbuchs ist es, das Material des ersten Semesters eines Vorlesungszyklus zur Analysis prägnant und verständlich darzustellen und darüber hinaus Ausblicke und Ergänzungen zu geben, die den Stoff lebendig werden lassen.
Besonderer Wert wird auf die Motivation der zu behandelnden Themen gelegt. Zu Beginn des Buchs wird die mathematische Denkweise, insbesondere Beweistechniken und axiomatisches Vorgehen, ausführlich eingeführt. Dieses Buch basiert auf Vorlesungen, die regelmäßig und seit vielen Jahren an der TU München abgehalten werden. Zahlreiche Abbildungen veranschaulichen die behandelten Konzepte und Ideen. Zudem ermöglicht dieses Lehrbuch den Zugriff auf mehr als 250 interaktive Aufgaben in der Springer Nature Flashcards-App, mit denen Wissen und Verständnis überprüft werden kann - hervorragend geeignet auch zur Prüfungsvorbereitung.
Aussagen.- Vollständige Induktion.- Mengen.- Einige Beweistechniken.- Reelle Zahlen.- Funktionen.- Die komplexen Zahlen.- Folgen.- Reihen.- Stetige Funktionen.- Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen, Logarithmus.- Differenzierbarkeit reeller Funktionen.- Folgen von Funktionen.- Das Integral.- Vertauschungssätze.- Potenzreihen und Taylorreihen.- Einführung in Differentialgleichungen.- Unendliche Mengen.
Prof. Dr. Martin Brokate ist Professor i.R. für Mathematik an der Technischen Universität München.
Prof. Dr. Johannes Zimmer ist Professor für Analysis und Modellbildung an der Technischen Universität München.
Dr. Florian Lindemann ist Akademischer Rat an der Technischen Universität München.
Über den Autor
Prof. Dr. Martin Brokate ist Professor i.R. für Mathematik an der Technischen Universität München.
Prof. Dr. Johannes Zimmer ist Professor für Analysis und Modellbildung an der Technischen Universität München.
Dr. Florian Lindemann ist Akademischer Rat an der Technischen Universität München.
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Aussagen
1.1 Grundlagen
1.2 Verknupfung von Aussagen
1.3 Quantoren
2 Vollstandige Induktion
2.1 Summen- und Produktnotation
2.2 Die Beweismethode der vollstandigen Induktion
2.3 Verallgemeinerungen des Induktionsprinzips
2.4 Bonusmaterial und Anmerkungen
3 Mengen
3.1 Grundbegri_e der Mengenlehre
3.2 Mengenoperationen und ihre Rechenregeln
3.3 Indizierte Mengen
3.4 Mengen von Mengen
3.5 Geordnete Paare. Das Produkt zweier Mengen
3.6 Schlussbemerkungen
3.6.1 Cantors Werk und seine Rezeption
3.6.2 Zur De_nition der naturlichen Zahlen
4 Einige Beweistechniken
4.1 Kontraposition und Widerspruchsbeweis
4.2 Zum axiomatischen Aufbau der Mathematik
4.3 Die Jagd nach dem kleinsten Verbrecher
5 Reelle Zahlen
5.1 Axiomatische Charakterisierung
5.1.1 Korperaxiome
5.1.2 Anordnungsaxiome
5.1.3 Vollstandigkeit
5.2 Folgerungen aus den Korpereigenschaften
5.3 Potenzen
5.4 Elementare Ungleichungen
5.5 Absolutbetrag, Minimum und Maximum
5.6 Supremum und In_mum. Vollstandigkeit
5.7 Ausblick: Zum Archimedischen Axiom
6 Funktionen
6.1 Der Funktionsbegri
6.2 Eigenschaften von Abbildungen
6.3 Die Umkehrfunktion. Wurzeln
6.4 Komposition von Funktionen
7 Die komplexen Zahlen
7.1 Motivation
7.2 De_nition und elementare Eigenschaften komplexer Zahlen
7.3 Nachbemerkung und Ausblick
8 Folgen
8.1 Motivation
8.2 Folgen und Grenzwerte
8.3 Rechenregeln fur Grenzwerte
8.4 Vertraglichkeit von Grenzwert und Ungleichungen
8.4.1 Montone Folgen
8.5 Uneigentliche Konvergenz
8.6 Der Satz von Bolzano-Weierstra
8.6.1 Teilfolgen und Haufungspunkte
8.7 Limes superior und Limes inferior
8.8 Vollstandigkeit
8.9 Folgen komplexer Zahlen
8.10 Bonusmaterial
9 Reihen
9.1 Motivation und grundlegende Begri_e
9.2 Absolute Konvergenz
9.3 Weitere Konvergenzkriterien
9.4 Alternierende Reihen
9.5 Potenzreihen
9.6 Reihenprodukte
9.7 Bemerkungen und Ausblicke
10 Stetige Funktionen
10.1 Motivation
10.2 Grundlegende Begri_e
10.3 Satze uber stetige Funktionen
10.4 Uneigentliche Grenzwerte von Funktionen
10.5 Monotone Funktionen
10.6 Anmerkungen
11 Exponentialfunktion, trigonometrische Funktionen, Logarithmus
11.1 Die Exponentialfunktion im Reellen
11.2 Die Exponentialfunktion im Komplexen. Trigonometrische Funktionen
11.3 Die Kreiszahl
11.4 Polarkoordinaten
11.5 Tangens und hyperbolische Funktionen
11.6 Logarithmen
11.7 Die allgemeine Potenzfunktion
12 Di_erenzierbarkeit reeller Funktionen
12.1 Kontext. De_nition der Di_erenzierbarkeit
12.2 Rechenregeln
12.3 Eigenschaften di_erenzierbarer Funktionen
12.4 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
12.5 Hohere Ableitungen
12.6 Konvexe Funktionen
12.7 Schlussbemerkung: Nicht di_erenzierbare Funktionen
13 Folgen von Funktionen
13.1 Punktweise Konvergenz
13.2 Gleichma_ige Konvergenz
14 Das Integral
14.1 Grundlagen
14.2 Der Hauptsatz der Di_erential- und Integralrechnung
14.3 Integrationsregeln
14.4 Bonusmaterial: Integrationspraxis
14.4.1 Integration rationaler Funktionen
14.4.2 Integrale von Verkettungen rationalen Funktionen
14.5 Weitere Charakterisierungen von Regelfunktionen
14.6 Uneigentliche Integrale
14.7 Anwendung: Wallis'sches Produkt und Stirlingsche Formel
14.8 Ausblick
15 Vertauschungssatze
15.1 Punktweise Konvergenz: Drei Enttauschungen
15.2 Vertauschungssatze fur gleichma_ige Konvergenz
16 Potenzreihen und Taylorreihen
16.1 Gleichma_ige Konvergenz von Potenzreihen
16.2 Taylorreihen
16.3 Bonusmaterial
17 Einfuhrung in Di_erentialgleichungen
17.1 Separable Di_erentialgleichungen erster Ordnung
17.2 Inhomogene Gleichungen erster Ordnung
17.2.1 Integrierende Faktoren
17.2.2 Variation der Konstanten
17.3 Anwendung: Co_eingehalt im Blut
18 Unendliche Mengen
Bietet eine gut motivierte prägnante Einführung in die Analysis-1-Themen
Vielfach vorlesungserprobt und bestens zum Selbstlernen geeignet
Gezielte Fragen zur Wissens- und Verständnisüberprüfung: Nutzen Sie die interaktive Springer Nature Flashcards-App
