Einführung.- I. Einführende Beispiele.- 1. Euklidische Geometrie.- 2. Quadratische Formen.- 3. Konjugationsklassen von Matrizen.- 4. Invarianten mehrerer Vektoren.- 5. Nullformen.- 6. Assoziierte Kegel und Deformationen.- 7. Ternäre kubische Formen.- II. Gruppenoperationen, Invariantenringe und Quotienten.- 1. Algebraische Gruppen.- 1.1. Definitionen.- 1.2. Zusammenhangskomponente, Zentrum und homomorphe Bilder.- 1.3. Die klassischen Gruppen..- 1.4. Die Liealgebra einer algebraischen Gruppe.- 1.5. Die Liealgebren der klassischen Gruppen.- 2. Gruppenoperationen und lineare Darstellungen.- 2.1. Definitionen.- 2.2. Fixpunkte, Bahnen, Stabilisatoren.- 2.3. Lineare Darstellungen.- 2.4. Die reguläre Darstellung.- 2.5. Zusammenhang zwischen Gruppe und Liealgebra.- 2.6. Schichten.- 2.7. Die Varietät der Darstellungen einer Algebra.- 3. Quotienten bei linear reduktiven Gruppen.- 3.1. Linear reduktive Gruppen und isotypische Zerlegung.- 3.2. Der Endlichkeitssatz.- 3.3. Einfache Eigenschaften und Beispiele.- 3.4. Ein Kriterium für Quotienten.- 3.5. Zur Charakterisierung der linear reduktiven Gruppen.- 3.6. Der endliche Fall.- 4. Beispiele und Anwendungen.- 4.1. Das klassische Problem für GLn.- 4.2. Allgemeine Faser und Nullfaser.- 4.3. Einige Strukturaussagen für Quotienten.- III. Darstellungstheorie und die Methode der U-Invarianten.- 1. Darstellungstheorie linear reduktiver Gruppen.- 1.1. Tori und unipotente Gruppen.- 1.2. Auflösbare Gruppen und Borelgruppen.- 1.3. Darstellungen von Tori.- 1.4. Die irreduziblen Darstellungen von GL.- 1.5. Die irreduziblen Darstellungen einer linear reduktiven Gruppe.- 2. Das Hilbertkriterium.- 2.1. Einparameter-Untergruppen.- 2.2. Torusoperationen.- 2.3. Das Hilbertkriterium für GLn.- 2.4. Der allgemeine Fall.- 2.5. Assoziierte parabolische Untergruppen.- 2.6. Dimensionsabschätzungen für die Nullfaser.- 3. U-Invarianten und Normalitäts fragen.- 3.1. ?-Gradierung auf dem U-Invariantenring.- 3.2. Endliche Erzeugbarkeit der U-Invarianten.- 3.3. Ein Normalitätskriterium.- 3.4. Geometrische Interpretation der Multiplizitäten.- 3.5. Anwendung auf Abschlüsse von Bahnen.- 3.6. Multiplizitätenfreie Operationen.- 3.7. Normalität der Determinantenvarietäten.- 3.8. U-Invariantenringe von quasihomogenen Varietäten.- 3.9. Der Satz von Weitzenböck.- 4. SL-Einbettungen.- 4.1. Erste Eigenschaften.- 4.2. Ein Fortsetzungssatz.- 4.3. Bestimmung des ü-Invariantenringes.- 4.4. Existenzsätze.- 4.5. Struktursätze.- 4.6. Tangentialraum im Fixpunkt.- 4.7. Konstruktion von Einbettungen und Bestimmung der Höhe.- 4.8. Homomorphismen und Automorphismen.- 4.9. Verallgemeinerung auf endliche Stabilisatoren.- Anhang I. Einige Grundlagen aus der algebraischen Geometrie.- 1. Affine Varietäten.- 1.1. Reguläre Funktionen.- 1.2. Nullstellengebilde.- 1.3. Zariski-Topologie.- 1.4. Abgeschlossene Untervarietäten.- 1.5. Nullstellensatz.- 1.6. Affine Varietäten.- 1.7. Spezielle offene Mengen.- 1.8. Irreduzible Varietäten..- 1.9. Zerlegung in irreduzible Komponenten.- 1.10. Rationale Funktionen.- 1.11. Lokale Ringe.- 2. Reguläre Abbildungen.- 2.1. Definition.- 2.2. Hauptsatz.- 2.3. Dominante Morphismen.- 2.4. Lokale Bestimmtheit eines Morphismus.- 2.5. Abgeschlossene Bilder, Urbilder und Fasern.- 2.6. Beispiele.- 2.7. Produkte.- 2.8. Beispiele.- 3. Dimension.- 3.1. Definitionen.- 3.2. Beispiele.- 3.3. Dimensionsformel für Morphismen.- 3.4. Hauptidealsatz von Krull.- 3.5. Abbildungsgrad.- 3.6. Beispiele.- 3.7. Birationale Morphismen.- 4. Normale Varietäten.- 4.1. Endliche Morphismen.- 4.2. Noethersches Normalisierungslemma.- 4.3. Normale Varietäten und Normalisierung.- 4.4. Normalisierung von Gruppenoperationen.- 4.5. Going-down Theorem.- 5. Tangential räum und reguläre Punkte.- 5.1. Definition.- 5.2. Tangentialvektoren.- 5.3. Tangentialräume von Untervarietäten.- 5.4. Differential einer regulären Abbildung.- 5.5. Tangentialräume von Produkten und Fasern.- 5.6. Reguläre Punkte.- 5.7. Reguläre Abbildungen von maximalem Rang.- 6. Hyperflachen und Divisoren.- 6.1. Divisorengruppe.- 6.2. Normalitätskriterium von Serre.- 7. C-Topologie auf affinen Varietäten.- 7.1. Definition und Eigenschaften.- 7.2. (D-Abschlüsse.- Anhang II. Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen.- 1. Topologische Gruppen, Liegruppen.- 2. Klassische Gruppen.- 3. Haarsches Mass auf kompakten Gruppen.- 4. Volle Reduzibilität der Darstellungen kompakter Gruppen.- 5. Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen.- 6. Maximal kompakte Untergruppen.- 7. Cartan-und Iwasawazerlegung.- Symbole und Notationen.- Register.
Einführung.- I. Einführende Beispiele.- 1. Euklidische Geometrie.- 2. Quadratische Formen.- 3. Konjugationsklassen von Matrizen.- 4. Invarianten mehrerer Vektoren.- 5. Nullformen.- 6. Assoziierte Kegel und Deformationen.- 7. Ternäre kubische Formen.- II. Gruppenoperationen, Invariantenringe und Quotienten.- 1. Algebraische Gruppen.- 2. Gruppenoperationen und lineare Darstellungen.- 3. Quotienten bei linear reduktiven Gruppen.- 4. Beispiele und Anwendungen.- III. Darstellungstheorie und die Methode der U-Invarianten.- 1. Darstellungstheorie linear reduktiver Gruppen.- 2. Das Hilbertkriterium.- 3. U-Invarianten und Normalitäts fragen.- 4. SL-Einbettungen.- Anhang I. Einige Grundlagen aus der algebraischen Geometrie.- 1. Affine Varietäten.- 2. Reguläre Abbildungen.- 3. Dimension.- 4. Normale Varietäten.- 5. Tangential räum und reguläre Punkte.- 6. Hyperflachen und Divisoren.- 7. C-Topologie auf affinen Varietäten.- Anhang II. Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen.- 1. Topologische Gruppen, Liegruppen.- 2. Klassische Gruppen.- 3. Haarsches Mass auf kompakten Gruppen.- 4. Volle Reduzibilität der Darstellungen kompakter Gruppen.- 5. Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen.- 6. Maximal kompakte Untergruppen.- 7. Cartan-und Iwasawazerlegung.- Symbole und Notationen.- Register.
Inhaltsverzeichnis
Einführung.- I. Einführende Beispiele.- 1. Euklidische Geometrie.- 2. Quadratische Formen.- 3. Konjugationsklassen von Matrizen.- 4. Invarianten mehrerer Vektoren.- 5. Nullformen.- 6. Assoziierte Kegel und Deformationen.- 7. Ternäre kubische Formen.- II. Gruppenoperationen, Invariantenringe und Quotienten.- 1. Algebraische Gruppen.- 1.1. Definitionen.- 1.2. Zusammenhangskomponente, Zentrum und homomorphe Bilder.- 1.3. Die klassischen Gruppen..- 1.4. Die Liealgebra einer algebraischen Gruppe.- 1.5. Die Liealgebren der klassischen Gruppen.- 2. Gruppenoperationen und lineare Darstellungen.- 2.1. Definitionen.- 2.2. Fixpunkte, Bahnen, Stabilisatoren.- 2.3. Lineare Darstellungen.- 2.4. Die reguläre Darstellung.- 2.5. Zusammenhang zwischen Gruppe und Liealgebra.- 2.6. Schichten.- 2.7. Die Varietät der Darstellungen einer Algebra.- 3. Quotienten bei linear reduktiven Gruppen.- 3.1. Linear reduktive Gruppen und isotypische Zerlegung.- 3.2. Der Endlichkeitssatz.- 3.3. Einfache Eigenschaften und Beispiele.- 3.4. Ein Kriterium für Quotienten.- 3.5. Zur Charakterisierung der linear reduktiven Gruppen.- 3.6. Der endliche Fall.- 4. Beispiele und Anwendungen.- 4.1. Das klassische Problem für GLn.- 4.2. Allgemeine Faser und Nullfaser.- 4.3. Einige Strukturaussagen für Quotienten.- III. Darstellungstheorie und die Methode der U-Invarianten.- 1. Darstellungstheorie linear reduktiver Gruppen.- 1.1. Tori und unipotente Gruppen.- 1.2. Auflösbare Gruppen und Borelgruppen.- 1.3. Darstellungen von Tori.- 1.4. Die irreduziblen Darstellungen von GL.- 1.5. Die irreduziblen Darstellungen einer linear reduktiven Gruppe.- 2. Das Hilbertkriterium.- 2.1. Einparameter-Untergruppen.- 2.2. Torusoperationen.- 2.3. Das Hilbertkriterium für GLn.- 2.4. Der allgemeine Fall.- 2.5. Assoziierte parabolische Untergruppen.- 2.6. Dimensionsabschätzungen für die Nullfaser.- 3. U-Invarianten und Normalitäts fragen.- 3.1. ?-Gradierung auf dem U-Invariantenring.- 3.2. Endliche Erzeugbarkeit der U-Invarianten.- 3.3. Ein Normalitätskriterium.- 3.4. Geometrische Interpretation der Multiplizitäten.- 3.5. Anwendung auf Abschlüsse von Bahnen.- 3.6. Multiplizitätenfreie Operationen.- 3.7. Normalität der Determinantenvarietäten.- 3.8. U-Invariantenringe von quasihomogenen Varietäten.- 3.9. Der Satz von Weitzenböck.- 4. SL-Einbettungen.- 4.1. Erste Eigenschaften.- 4.2. Ein Fortsetzungssatz.- 4.3. Bestimmung des ü-Invariantenringes.- 4.4. Existenzsätze.- 4.5. Struktursätze.- 4.6. Tangentialraum im Fixpunkt.- 4.7. Konstruktion von Einbettungen und Bestimmung der Höhe.- 4.8. Homomorphismen und Automorphismen.- 4.9. Verallgemeinerung auf endliche Stabilisatoren.- Anhang I. Einige Grundlagen aus der algebraischen Geometrie.- 1. Affine Varietäten.- 1.1. Reguläre Funktionen.- 1.2. Nullstellengebilde.- 1.3. Zariski-Topologie.- 1.4. Abgeschlossene Untervarietäten.- 1.5. Nullstellensatz.- 1.6. Affine Varietäten.- 1.7. Spezielle offene Mengen.- 1.8. Irreduzible Varietäten..- 1.9. Zerlegung in irreduzible Komponenten.- 1.10. Rationale Funktionen.- 1.11. Lokale Ringe.- 2. Reguläre Abbildungen.- 2.1. Definition.- 2.2. Hauptsatz.- 2.3. Dominante Morphismen.- 2.4. Lokale Bestimmtheit eines Morphismus.- 2.5. Abgeschlossene Bilder, Urbilder und Fasern.- 2.6. Beispiele.- 2.7. Produkte.- 2.8. Beispiele.- 3. Dimension.- 3.1. Definitionen.- 3.2. Beispiele.- 3.3. Dimensionsformel für Morphismen.- 3.4. Hauptidealsatz von Krull.- 3.5. Abbildungsgrad.- 3.6. Beispiele.- 3.7. Birationale Morphismen.- 4. Normale Varietäten.- 4.1. Endliche Morphismen.- 4.2. Noethersches Normalisierungslemma.- 4.3. Normale Varietäten und Normalisierung.- 4.4. Normalisierung von Gruppenoperationen.- 4.5. Going-down Theorem.- 5. Tangential räum und reguläre Punkte.- 5.1. Definition.- 5.2. Tangentialvektoren.- 5.3. Tangentialräume von Untervarietäten.- 5.4. Differential einer regulären Abbildung.- 5.5. Tangentialräume von Produkten und Fasern.- 5.6. Reguläre Punkte.- 5.7. Reguläre Abbildungen von maximalem Rang.- 6. Hyperflachen und Divisoren.- 6.1. Divisorengruppe.- 6.2. Normalitätskriterium von Serre.- 7. C-Topologie auf affinen Varietäten.- 7.1. Definition und Eigenschaften.- 7.2. (D-Abschlüsse.- Anhang II. Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen.- 1. Topologische Gruppen, Liegruppen.- 2. Klassische Gruppen.- 3. Haarsches Mass auf kompakten Gruppen.- 4. Volle Reduzibilität der Darstellungen kompakter Gruppen.- 5. Lineare Reduktivität der klassischen Gruppen.- 6. Maximal kompakte Untergruppen.- 7. Cartan-und Iwasawazerlegung.- Symbole und Notationen.- Register.
Klappentext
Die vorliegende Einftihrung in die Invariantentheorie entstand aus einer Vorlesung, welche ich im Wintersemester 1977/78 in Bonn gehalten habe.Wie schon der Titel ausdruckt stehen dabei die geometrischen Aspekte im Vordergrund. Aufbauend auf einfachen Kenntnissen aus der Algebra wer den die Grundlagen der Theorie der algebraischen Transformationsgruppen entwickelt und eine Reihe klassischer und moderner Fragestellungen aus der Invariantentheorie behandelt. Der Leser wird dabei bis an die heutige Forschung herangeftihrt und sollte dann auch in der Lage sein, die ent sprechende Originalliteratur zu verstehen. Ich habe versucht, den algebraisch-geometrischen Apparat klein zu halten, um einen meglichst breiten Leserkreis anzusprechen; die benotigten Defi nitionen und Resultate sind in einem Anhang zusammengestellt. FUr weiter ftihrende Studien wird man allerdings gut daran tun, etwas tiefer in die algebraische Geometrie und die Theorie der halbeinfachen Gruppen einzu dringen. Hierfur gibt es inzwischen einige sehr gute Lehrbucher. Bei der Gestaltung und der Themenauswahl schwebte mir vor, eine solide Grundlage zu schaffen und gleichzeitig klassische und moderne Original literatur aufzuarbeiten. Viele Einzelheiten stammen aus Gespr1:ichen und Briefwechseln mit verschiedenen Kollegen, speziell mit Walter Borho, wim Hesselink, Jens-Carsten Jantzen, Victor KaC, Domingo Luna, Claudio Pro cesi, Vladimir Popov, Nicolas Spaltenstein und Thierry Vust. Alfred Wie demann hat die Bonner Vorlesung ausgearbeitet und damit die Grundlage fur das vorliegende Buch geschaffen. Gisela Menzel und Christine Riedt mann haben den Text gelesen und viele Unstimmigkeiten behoben. Frau M.
