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Prophetentheorie
Prophetenungleichungen, Prophetenregionen, Spiele gegen einen Propheten
Andreas Meyerthole & Norbert Schmitz

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Prophetentheorie

Produktbeschreibung

Reduktion der Strategienmenge des Propheten - Martingale - Allgemeine stochastische Prozesse - Folgen von stochastisch unabhängigen Zufallsgrößen - Zeitlich bewertete Auszahlungen im unabhängigen Fall - Folgen von stochastisch unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen - Zeitlich bewertete Auszahlungen im iid-Fall
Die Prophetentheorie untersucht, welchen Vorteil bei zufallsabhängigen zeitlichen Vorgängen (stochastischen Prozessen) die Kenntnis der zukünftigen Entwicklung bedeutet. Insbesondere wird die maximale erwartete Auszahlung eines Akteurs, der jeweils nur die Vergangenheit kennt ("Statistiker"), mit dem Wert verglichen, den ein Akteur erzielen kann, der auch über die zukünftigen Entwicklungen informiert ist ("Prophet"). "... The authors give a detailed and very readable overview of the most important methods and results of the prophet theory which they have developed according to their interpretation. ..." M.Kraft. Mathematical Reviews, Ann Arbor "... The presentation is self-contained and well readable. ..." U.Krengel. Zentralblatt für Mathematik, Berlin "... Das Buch gibt eine sehr gut lesbare Übersicht des Gebietes und ermöglicht mit seiner Auswahl an Themen und deren detaillierter Darstellung einen sehr guten Einstieg in dieses interessante Forschungsgebiet." L. Rüschendorf. Sonderdruck Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
Die Prophetentheorie untersucht, welchen Vorteil bei zufallsabhängigen zeitlichen Vorgängen (stochastischen Prozessen) die Kenntnis der zukünftigen Entwicklung bedeutet. Insbesondere wird die maximale erwartete Auszahlung eines Akteurs, der jeweils nur die Vergangenheit kennt ("Statistiker"), mit dem Wert verglichen, den ein Akteur erzielen kann, der auch über die zukünftigen Entwicklungen informiert ist ("Prophet").
In den Arbeiten "Semiamarts and Finite Values" (1977) und "On Semiamarts, Amarts, and Processes with Finite Value" (1978) lieferten U. Krengel und L. Sucheston interessante Resultate fUr "Semiamarts" genannte Verallgemeinerungen von Martingalen. In diesem recht theoretischen Rahmen bewiesen sie, daB sich der Er wartungswert E sup X;;-bei stochastisch unabhangigen ZufallsgroBen Xn bzw. bei "arithmetischen" Mitteln durch ein Vielfaches des Wertes SUPr EXT) T Stopzeit, abschatzen laBt. Sie interpretierten dieses Resultat als Abschatzung fiir den Nachteil, den ein Spieler (der nur Stopregeln benutzen kann) gegeniiber einem allwissenden (jedoch nicht allmachtigen) Gegner1 hat. Kurz darauf benutzten Krengel und Sucheston fUr diesen Gegner, der die gesamte Zukunft kennt, die 2 einpragsamere Bezeichnung Prophet - und diese wurde von allen spateren Autoren iibernommen. In schneller Folge konnten etliche Autoren - insbesondere R. Kertz und T. Hill-weitere Prophetenun gleichungen beweisen und fUr interessante Klassen von stochastischen Prozessen die Menge aller moglichen Paare (suPr EXT) E sup Xn) charakterisieren (Prophetenregionen); es entstand ein neues Teil gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, die Prophetentheorie (die Publikumswirksamkeit dieser Bezeichnung mag durch die phoneti sche . Ahnlichkeit von "prophet theory" und "profit theory" verstarkt worden sein). Schlie:Blich konnte auch noch der bereits von U. Krengel und L. Sucheston implizit angemerkte spieltheoretische Aspekt des 3 Problems aufgegriffen werden; es wurden Spiele gegen einen Propheten untersucht. In diesem Skript solI ein Uberblick iiber Methoden und Ergebnisse der Prophetentheorie gegeben werden.
Reduktion der Strategienmenge des Propheten - Martingale - Allgemeine stochastische Prozesse - Folgen von stochastisch unabhängigen Zufallsgrößen - Zeitlich bewertete Auszahlungen im unabhängigen Fall - Folgen von stochastisch unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen - Zeitlich bewertete Auszahlungen im iid-Fall

Inhaltsverzeichnis



Reduktion der Strategienmenge des Propheten - Martingale - Allgemeine stochastische Prozesse - Folgen von stochastisch unabhängigen Zufallsgrößen - Zeitlich bewertete Auszahlungen im unabhängigen Fall - Folgen von stochastisch unabhängigen, identisch verteilten Zufallsgrößen - Zeitlich bewertete Auszahlungen im iid-Fall


Klappentext



In den Arbeiten "Semiamarts and Finite Values" (1977) und "On Semiamarts, Amarts, and Processes with Finite Value" (1978) lieferten U. Krengel und L. Sucheston interessante Resultate fUr "Semiamarts" genannte Verallgemeinerungen von Martingalen. In diesem recht theoretischen Rahmen bewiesen sie, daB sich der Er­ wartungswert E sup X;;-bei stochastisch unabhangigen ZufallsgroBen Xn bzw. bei "arithmetischen" Mitteln durch ein Vielfaches des Wertes SUPr EXT) T Stopzeit, abschatzen laBt. Sie interpretierten dieses Resultat als Abschatzung fiir den Nachteil, den ein Spieler (der nur Stopregeln benutzen kann) gegeniiber einem allwissenden (jedoch nicht allmachtigen) Gegner1 hat. Kurz darauf benutzten Krengel und Sucheston fUr diesen Gegner, der die gesamte Zukunft kennt, die 2 einpragsamere Bezeichnung Prophet - und diese wurde von allen spateren Autoren iibernommen. In schneller Folge konnten etliche Autoren - insbesondere R. Kertz und T. Hill-weitere Prophetenun­ gleichungen beweisen und fUr interessante Klassen von stochastischen Prozessen die Menge aller moglichen Paare (suPr EXT) E sup Xn) charakterisieren (Prophetenregionen); es entstand ein neues Teil­ gebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, die Prophetentheorie (die Publikumswirksamkeit dieser Bezeichnung mag durch die phoneti­ sche . Ahnlichkeit von "prophet theory" und "profit theory" verstarkt worden sein). Schlie:Blich konnte auch noch der bereits von U. Krengel und L. Sucheston implizit angemerkte spieltheoretische Aspekt des 3 Problems aufgegriffen werden; es wurden Spiele gegen einen Propheten untersucht. In diesem Skript solI ein Uberblick iiber Methoden und Ergebnisse der Prophetentheorie gegeben werden.


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