Ein Buch, das motiviert.
Mathematische Methoden gehören zum festen Bestandteil der wirtschaftswissenschaftlichen Grundausbildung. Dies reflektiert nicht zuletzt den Grad der mathematischen Formalisierung, der auf dem Gebiet der Wirtschaftswissenschaften heute wissenschaftliche wie praxisangewandte Arbeiten kennzeichnet.
Besonderheiten dieses Buches sind zum einen die einführenden wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen, die jedem Kapitel vorangestellt sind und die die nachfolgend behandelte Mathematik ökonomisch motivieren. Zum anderen werden die grundlegenden mathematischen Begriffe sowohl deutsch als auch englisch wiedergegeben, um Studenten die spätere Lektüre mathematisch-wirtschaftswissenschaftlicher Arbeiten zu erleichtern und Fehlübersetzungen zu ersparen. Jedes Kapitel enthält einen Abschnitt mit ökonomischen Beispielen, in dem auch die zu Beginn des Kapitels erörterten Problemstellungen aufgegriffen und ausführlich diskutiert werden. Die Beispiele entstammen teilweise klassisch-ökonomischen Fragen wie Haushalts-, Produktionsoptimierung, Input-Output-Rechnung, aber auch komparativ statischer Modellanalyse, Grenzsteuerbelastung und Anwendungen aus der neueren Finanzwirtschaft. Aufgaben aus bisher gestellten Klausuren sind teilweise in die ökonomischen Beispiele mitaufgenommen worden.
Da das Buch als Einführung und Vorlesungsbegleiter gedacht ist, ist es knapp und ohne Beweisführung gehalten, ein Verzeichnis mit weiterführender Literatur ist für den interessierten Leser am Ende aufgeführt. Das Buch kann aber auch als Studienbegleiter dienen, da es einige über die Grundvorlesung hinausreichende Sachgebiete umfasst, die zum Standardrepertoire wirtschaftswissenschaftlicher Modellierung gehören, etwa Hesse-Matrix, Kuhn-Tucker-Bedingungen (hinreichende Optimalitätsbedingungen), Implizites Funktionentheorem (komparative Statik), Einhüllenden-Satz, Differenzen-, Differentialgleichungen (Wachstumsmodelle). Die zentralen Ergebnisse der einzelnen Kapitel werden in Form durchnummerierter Sätze und Rechenregeln übersichtlich festgehalten.
In die vorliegende Auflage sind neu aufgenommen lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung und das wachstumstheoretische Multiplikator-Akzelerator-Modell.
Mathematische Methoden gehören zum festen Bestandteil der wirtschaftswissenschaftlichen Grundausbildung. Dies reflektiert nicht zuletzt den Grad der mathematischen Formalisierung, der auf dem Gebiet der Wirtschaftswissenschaften heute wissenschaftliche wie praxisangewandte Arbeiten kennzeichnet. Besonderheiten dieses Buches sind zum einen die einführenden wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen, die jedem Kapitel vorangestellt sind und die die nachfolgend behandelte Mathematik ökonomisch motivieren. Zum anderen werden die grundlegenden mathematischen Begriffe sowohl deutsch als auch englisch wiedergegeben, um Studenten die spätere Lektüre mathematisch-wirtschaftswissenschaftlicher Arbeiten zu erleichtern und Fehlübersetzungen zu ersparen. Jedes Kapitel enthält einen Abschnitt mit ökonomischen Beispielen, in dem auch die zu Beginn des Kapitels erörterten Problemstellungen aufgegriffen und ausführlich diskutiert werden. Die Beispiele entstammen teilweise klassisch-ökonomischen Fragen wie Haushalts-, Produktionsoptimierung, Input-Output-Rechnung, aber auch komparativ statischer Modellanalyse, Grenzsteuerbelastung und Anwendungen aus der neueren Finanzwirtschaft. Aufgaben aus bisher gestellten Klausuren sind teilweise in die ökonomischen Beispiele mitaufgenommen worden.Da das Buch als Einführung und Vorlesungsbegleiter gedacht ist, ist es knapp und ohne Beweisführung gehalten; ein Verzeichnis mit weiterführender Literatur ist für den interessierten Leser am Ende aufgeführt. Das Buch kann aber auch als Studienbegleiter dienen, da es einige über die Grundvorlesung hinausreichende Sachgebiete umfasst, die zum Standardrepertoire wirtschaftswissenschaftlicher Modellierung gehören, etwa Hesse-Matrix, Kuhn-Tucker-Bedingungen (hinreichende Optimalitätsbedingungen), Implizites Funktionentheorem (komparative Statik), Einhüllenden-Satz, Differenzen-, Differentialgleichungen (Wachstumsmodelle). Die zentralen Ergebnisse der einzelnen Kapitel werden in Form durchnummerierter Sätze und Rechenregeln übersichtlich festgehalten. In die vorliegende Auflage sind neu aufgenommen lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung und das wachstumstheoretische Multiplikator-Akzelerator-Modell.
Mengen und Aussagenlogik. Funktionen einer und mehrer Veränderlichen. Matrizen. Vektorräume. Lineare Gleichungssysteme, Determinanten, Eigenwerte. Lineare Optimierung. Folgen. Stetigkeit von Funktionen, Reihen und Konvergenzkriterien. Differentialrechnung einer Veränderlichen. Kurvendisskusion. Integralrechnung. Differentialrechnungen von mehreren Veränderlichen. Ausgwählte Optimierungsprobleme im n-dimensionalen Raum. Differenzen- und Differentialgleichungen. Dynamische Optimierung: Hamilton. Dynamische Systeme. Einige weitere Anwendungen.
Prof. Dr. Alexander Karmann, geb. 1948. Studium der Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg. 1979 Dr. rer. pol. an der Fakultät Wirtschaftswissenschaften der Universität Karlsruhe; 1983 Habilitation und venia legendi für das Lehrgebiet VWL und Statistik an der Universität Karlsruhe. 1986 Professor für VWL an der Universität Hamburg. Seit 1993 Inhaber des Lehrstuhls für VWL, insb. Geld, Kredit und Währung an der TU Dresden mit den Lehrgebieten Monetäre Ökonomie und Gesundheitsökonomie. Seit 2006 Dekan der Fakultät Wirtschaftswissenschaften der TU Dresden.
14 Dynamische Optimierung: Hamilton (S. 275-276)
Zwei ökonomische Anwendungen.
– Für die Geschäftsführung eines Unternehmens stellt sich die Frage, zu welchem Zeitpunkt Investitionen in welcher Höhe durchzuführen sind, um den Unternehmenswert (also die Summe aus diskontierten Ergebnis.üssen zuzüglich des diskontierten Unternehmenswertes am Ende der Planungsperiode) zu maximieren.
Die Investitionen beein.ussen den Unternehmenswert dabei auf zweifache Weise. Zum einen wirken sie direkt auf den Pro.t in den Folgeperioden, etwa positiv durch Erhöhung der Ausbringungsmenge oder der Produktionse.ektivität, oder auch negativ durch eine aus der Investitions.nanzierung resultierende ansteigende Zinslast. Zum anderen verändern die Investitionen auch den Wert des Kapitalstocks zum Ende der Planungsperiode.
– In der Volkswirtschaftslehre ist, zum Beispiel im Rahmen der Wachstumstheorie, die Frage relevant, in welchem Verhältnis die Individuen einer ökonomie ihr Einkommen für Konsum und Sparen verwenden. Es wird angenommen, daß jedes Individuum eine sogenannte intertemporale Nutzenfunktion besitzt, die den heutigen Konsum im Verhältnis zum Sparen von Geld gewichtet, wobei Sparen gleichbedeutend ist mit Konsummöglichkeiten morgen. Unter Berücksichtigung einer entsprechenden intertemporalen Budgetrestriktion wählen die Haushalte bei rationalem Verhalten genau den Konsumpfad, der die Summe aus diskontierten zukünftigen Nutzenströmen maximiert.
Der Unterschied dieser Optimierungskalküle zu den in Abschnitt 12 vorgestellten Verfahren besteht darin, daß hier kein statisches Problem vorliegt, sondern die Optimierung innerhalb einer bestimmten (kontinuierlichen) Zeitspanne erfolgt. Das bereits beschriebene Lagrangeverfahren scheidet somit für die Lösung derartiger Fragestellungen aus.
Probleme dieser Art lassen sich mit Hilfe der Theorie optimaler Steuerung lösen. In der folgenden kurzen Einführung wird die allgemeine Struktur eines solchen Modells an Hand einer typischen Anwendung eingeführt. Einige einfache Beispiele verdeutlichen die Herangehensweise bei der Lösung dynamischer Optimierungsaufgaben. Für das weiterführende Studium sei etwa auf die umfangreichen Darstellungen in [14] oder [15] verwiesen. Ein kurzer und gut verständlicher überblick über Probleme optimaler Steuerung ist im allgemeinen auch im mathematischen Anhang von Standardlehrbüchern der Wachstumstheorie gegeben (u.a. in [19]).
14.1 Hamiltonfunktion in Momentanwertversion
Ein Problem optimaler Steuerung wird durch ein dynamisches System charakterisiert, in welchem sogenannte Zustandsvariablen (s(t), state variable) und Steuerungsvariablen (c(t), control variable) auftreten. Während die Steuerungsvariablen durch den jeweiligen Entscheidungsträger aktiv beein.ußt werden können, werden die Veränderungen der Zustandsvariablen in der Zeit durch den Wert der Steuerungsvariablen, der Zustandsvariablen selbst sowie gegebenenfalls durch die Zeit determiniert. Diese vorgegebene Bewegungsgleichung der Zustandsvariablen stellt somit eine bei der Optimierung zu berücksichtigende Nebenbedingung dar. Die Aufgabe besteht nun darin, diejenige Trajektorie (Zeitpfad) der Steuerungsvariablen zu bestimmen, die ein Extremum einer gegebenen Bewertungsfunktion sicherstellt.
Über den Autor
Prof. Dr. Alexander Karmann, geb. 1948. Studium der Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg. 1979 Dr. rer. pol. an der Fakultät Wirtschaftswissenschaften der Universität Karlsruhe; 1983 Habilitation und venia legendi für das Lehrgebiet VWL und Statistik an der Universität Karlsruhe. 1986 Professor für VWL an der Universität Hamburg. Seit 1993 Inhaber des Lehrstuhls für VWL, insb. Geld, Kredit und Währung an der TU Dresden mit den Lehrgebieten Monetäre Ökonomie und Gesundheitsökonomie. Seit 2006 Dekan der Fakultät Wirtschaftswissenschaften der TU Dresden.
Inhaltsverzeichnis
Mengen und Aussagenlogik. Funktionen einer und mehrer Veränderlichen. Matrizen. Vektorräume. Lineare Gleichungssysteme, Determinanten, Eigenwerte. Lineare Optimierung. Folgen. Stetigkeit von Funktionen, Reihen und Konvergenzkriterien. Differentialrechnung einer Veränderlichen. Kurvendisskusion. Integralrechnung. Differentialrechnungen von mehreren Veränderlichen. Ausgwählte Optimierungsprobleme im n-dimensionalen Raum. Differenzen- und Differentialgleichungen. Dynamische Optimierung: Hamilton. Dynamische Systeme. Einige weitere Anwendungen.
Klappentext
rnMathematische Methoden gehören zum festen Bestandteil der wirtschaftswissenschaftlichen Grundausbildung. Dies reflektiert nicht zuletzt den Grad der mathematischen Formalisierung, der auf dem Gebiet der Wirtschaftswissenschaften heute wissenschaftliche wie praxisangewandte Arbeiten kennzeichnet. Besonderheiten dieses Buches sind zum einen die einführenden wirtschaftswissenschaftlichen Fragestellungen, die jedem Kapitel vorangestellt sind und die die nachfolgend behandelte Mathematik ökonomisch motivieren. Zum anderen werden die grundlegenden mathematischen Begriffe sowohl deutsch als auch englisch wiedergegeben, um Studenten die spätere Lektüre mathematisch-wirtschaftswissenschaftlicher Arbeiten zu erleichtern und Fehlübersetzungen zu ersparen. Jedes Kapitel enthält einen Abschnitt mit ökonomischen Beispielen, in dem auch die zu Beginn des Kapitels erörterten Problemstellungen aufgegriffen und ausführlich diskutiert werden. Die Beispiele entstammen teilweise klassisch-ökonomischen Fragen wie Haushalts-, Produktionsoptimierung, Input-Output-Rechnung, aber auch komparativ statischer Modellanalyse, Grenzsteuerbelastung und Anwendungen aus der neueren Finanzwirtschaft. Aufgaben aus bisher gestellten Klausuren sind teilweise in die ökonomischen Beispiele mitaufgenommen worden.rnDa das Buch als Einführung und Vorlesungsbegleiter gedacht ist, ist es knapp und ohne Beweisführung gehalten; ein Verzeichnis mit weiterführender Literatur ist für den interessierten Leser am Ende aufgeführt. Das Buch kann aber auch als Studienbegleiter dienen, da es einige über die Grundvorlesung hinausreichende Sachgebiete umfasst, die zum Standardrepertoire wirtschaftswissenschaftlicher Modellierung gehören, etwa Hesse-Matrix, Kuhn-Tucker-Bedingungen (hinreichende Optimalitätsbedingungen), Implizites Funktionentheorem (komparative Statik), Einhüllenden-Satz, Differenzen-, Differentialgleichungen (Wachstumsmodelle). Die zentralen Ergebnisse der einzelnen Kapitel werden in Form durchnummerierter Sätze und Rechenregeln übersichtlich festgehalten. In die vorliegende Auflage sind neu aufgenommen lineare Differenzengleichungen 2. Ordnung und das wachstumstheoretische Multiplikator-Akzelerator-Modell.
Nicht-exklusives Verkaufsrecht für: Gesamte Welt.
