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Lineare Algebra und lineare Optimierung
Mathematische Grundlagen und Beispiele zur linearen Programmierung
Franz Josef Fay

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Produktbeschreibung

A. Lineare Algebra.- I. Grundbegriffe der Mengenlehre zur Behandlung von Gleichungs- und Ungleichungssystemen.- 1. Definition des Mengenbegriffs.- a) Der Mengenbegriff von Cantor.- b) Beispiele für Mengen.- 2. Operationen mit Mengen.- a) Der Durchschnitt von Mengen.- b) Die Vereinigung von Mengen.- 3. Erfüllungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen.- a) Regeln für das Umformen von Gleichungen und Ungleichungen.- b) Erfüllungsmengen von Gleichungen.- c) Erfüllungsmengen von Ungleichungen und ihre graphische Darstellung.- 4. Die Erfüllungsmenge von Gleichungs- und Ungleichungssystemen als Durchschnitt der Erfüllungsmengen der einzelnen Gleichungen und Ungleichungen.- a) Systeme von linearen Gleichungen mit zwei Variablen.- b) Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen und ihre graphische Darstellung.- c) Übungsbeispiele.- II. Die Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen.- 1. Rechnerische Lösung von linearen, quadratischen und kubischen Bestimmungsgleichungen mit einer Unbekannten.- a) Die lineare Gleichung.- b) Die quadratische Gleichung.- c) Die kubische Gleichung.- 2. Graphische Lösung von Gleichungen mit Hilfe von Funktionen und Kurven.- 3. Die Gleichung und die Steigung der Geraden.- 4. Methoden zur Lösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.- 5. Lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Unbekannten.- III. Einführung in die Determinantenrechnung.- 1. Schreibweise für lineare Gleichungssysteme mit n Unbekannten.- 2. Eine Gleichung mit einer Unbekannten.- 3. Die Auflösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und die Definition der Determinanten zweiter Ordnung.- 4. Die Determinante dritter Ordnung bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten und die Sarrussche Regel.- 5. Die Determinante n. Ordnung und die Cramersche Regel.- 6. Sätze über Determinanten.- a) Spiegelung an der Hauptdiagonalen.- b) Multiplikation mit einer Konstanten.- c) Addition des Vielfachen einer Reihe zu einer anderen Reihe.- 7. Bestimmung des Wertes von Determinanten beliebiger Ordnung mit Hilfe der Adjunkten.- 8. Übungsbeispiele für dreireihige Determinanten.- 9. Beispiel für eine Determinante 4. Ordnung.- IV. Einführung in die Matrizenrechnung.- 1. Systemmatrix eines linearen Gleichungssystems.- 2. Definition der Matrix.- 3. Die transponierte Matrix.- 4. Die Gleichheit von Matrizen.- 5. Die Summe und die Differenz von Matrizen.- 6. Das Matrizenprodukt.- a) Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl.- b) Das Produkt aus zwei einreihigen Matrizen.- c) Das skalare Produkt.- d) Das Produkt aus einer Matrix und einer Spaltenmatrix.- e) Das allgemeine Matrizenprodukt — Das Produkt aus zwei miteinander verketteten Matrizen.- f) Beispiele.- B. Lineare Programmierung.- I. Einführungsbeispiel aus der Landwirtschaft.- 1. Aufstellung des Ungleichungssystems und seine geometrische Veranschaulichung.- 2. Die Geradenschar der Zielfunktion.- 3. Geometrische und rechnerische Bestimmung der optimalen Lösungen.- II. Ein Transportproblem.- 1. Ermittlung der Zielfunktion.- 2. Bestimmung des Kostenminimums.- 3. Bestimmung eines Gewinnmaximums.- III. Ein Beispiel aus einem Produktionsprozeß.- IV. Beispiel mit 3 Variablen, zurückführbar auf 2 Variable.- V. Mathematisches Zahlenbeispiel.- VI. Der Hauptsatz der Linearplanung.- 1. Die konvexe Punktmenge und das konvexe Polygon als Bild eines linearen Ungleichungssystems.- 2. Der Hauptsatz und sein Beweis.- VII. Herleitung eines Rechenverfahrens ohne geometrische Veranschaulichung.- 1. Zeichnerischer Weg.- 2. Entwicklung des Rechenverfahrens aus den Erkenntnissen des zeichnerischen Vorgehens.- 3. Rechnerischer Weg.- VIII. Linearplanung mit drei Variablen.- 1. Die Möglichkeit der geometrischen Veranschaulichung im Raum.- 2. Lösung eines Beispiels auf rechnerischem Weg.- 3. Geometrische Interpretation.- IX. Die Kombinationsmethode und die Lösung von Problemen mit n Variablen.- 1. Die Methode der vollständigen Kombination.- 2. Beispiele.- a) Beispiel mit zwei Variablen.- b) Beispiel mit drei Variablen.- 3. Programmierung und Lösung linearer Optimierungsprobleme nach dem Kombinationsverfahren unter Computereinsatz.- 4. Das Simplexverfahren von G. B. Dantzig.
Bei der Behandlung linearer Optimierungsprobleme werden mathematische Kenntnisse benotigt, ilber die mancher Leser noch von seiner Schulzeit her ver filgen wird. Er kann dann der Losung der gestellten Probleme im nachfolgen den Abschnitt der Linearplanung wo~l ohne groj3ere Schwierigkeiten folgen. Den weitaus meisten Lesern wird aber die dort verwendete Symbolik der Mengenlehre noch nicht geliiufig sein. Deshalb wird im ersten Kapitel eine Ein filhrung in die Mengenlehre gegeben. Sie wird nur so weit getrieben, als Sprache und Symbolik der Mengenlehre in den spiiteren Ausfilhrungen der Linearplanung Verwendung finden. Es muj3 insbesondere der Begriff der Er filllungsmenge von Gleichungs- und Ungleichungssystemen verstiindlich werden. Viele Benutzer dieses Buches werden dankbar sein, wenn in einem zweiten Kapitel diejenigen Grundbegriffe aus der Gleichungs- und Ungleichungslehre und aus der Funktionentheorie aufgefrischt und zusammenfassend dargestellt werden, die in den Rechnungen und Zeichnungen der Linearplanung auf treten. Die Behandlung von linearen Gleichungssystemen gibt Veranlassung, dem Leser eine Einfilhrung in die Determinantenlehre anzubieten. Da Determinanten und Matrizen in der WirtschaJtstheorie immer hiiufiger benutzt werden, dilrfte auch dieses Kapitel vie len Benutzern des Buches willkommen sein. Die Beherrschung des Rechnens mit Determinanten ist aber nicht Voraussetzung filr das Ver stiindnis der nachfolgenden Ausfilhrungen ilber Linearplanung.
A. Lineare Algebra.- I. Grundbegriffe der Mengenlehre zur Behandlung von Gleichungs- und Ungleichungssystemen.- 1. Definition des Mengenbegriffs.- a) Der Mengenbegriff von Cantor.- b) Beispiele für Mengen.- 2. Operationen mit Mengen.- a) Der Durchschnitt von Mengen.- b) Die Vereinigung von Mengen.- 3. Erfüllungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen.- a) Regeln für das Umformen von Gleichungen und Ungleichungen.- b) Erfüllungsmengen von Gleichungen.- c) Erfüllungsmengen von Ungleichungen und ihre graphische Darstellung.- 4. Die Erfüllungsmenge von Gleichungs- und Ungleichungssystemen als Durchschnitt der Erfüllungsmengen der einzelnen Gleichungen und Ungleichungen.- a) Systeme von linearen Gleichungen mit zwei Variablen.- b) Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen und ihre graphische Darstellung.- c) Übungsbeispiele.- II. Die Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen.- 1. Rechnerische Lösung von linearen, quadratischen und kubischen Bestimmungsgleichungen mit einer Unbekannten.- a) Die lineare Gleichung.- b) Die quadratische Gleichung.- c) Die kubische Gleichung.- 2. Graphische Lösung von Gleichungen mit Hilfe von Funktionen und Kurven.- 3. Die Gleichung und die Steigung der Geraden.- 4. Methoden zur Lösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.- 5. Lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Unbekannten.- III. Einführung in die Determinantenrechnung.- 1. Schreibweise für lineare Gleichungssysteme mit n Unbekannten.- 2. Eine Gleichung mit einer Unbekannten.- 3. Die Auflösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und die Definition der Determinanten zweiter Ordnung.- 4. Die Determinante dritter Ordnung bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten und die Sarrussche Regel.- 5. Die Determinante n. Ordnung und die Cramersche Regel.- 6. Sätze über Determinanten.- a) Spiegelung an der Hauptdiagonalen.- b) Multiplikation mit einer Konstanten.- c) Addition des Vielfachen einer Reihe zu einer anderen Reihe.- 7. Bestimmung des Wertes von Determinanten beliebiger Ordnung mit Hilfe der Adjunkten.- 8. Übungsbeispiele für dreireihige Determinanten.- 9. Beispiel für eine Determinante 4. Ordnung.- IV. Einführung in die Matrizenrechnung.- 1. Systemmatrix eines linearen Gleichungssystems.- 2. Definition der Matrix.- 3. Die transponierte Matrix.- 4. Die Gleichheit von Matrizen.- 5. Die Summe und die Differenz von Matrizen.- 6. Das Matrizenprodukt.- a) Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl.- b) Das Produkt aus zwei einreihigen Matrizen.- c) Das skalare Produkt.- d) Das Produkt aus einer Matrix und einer Spaltenmatrix.- e) Das allgemeine Matrizenprodukt - Das Produkt aus zwei miteinander verketteten Matrizen.- f) Beispiele.- B. Lineare Programmierung.- I. Einführungsbeispiel aus der Landwirtschaft.- 1. Aufstellung des Ungleichungssystems und seine geometrische Veranschaulichung.- 2. Die Geradenschar der Zielfunktion.- 3. Geometrische und rechnerische Bestimmung der optimalen Lösungen.- II. Ein Transportproblem.- 1. Ermittlung der Zielfunktion.- 2. Bestimmung des Kostenminimums.- 3. Bestimmung eines Gewinnmaximums.- III. Ein Beispiel aus einem Produktionsprozeß.- IV. Beispiel mit 3 Variablen, zurückführbar auf 2 Variable.- V. Mathematisches Zahlenbeispiel.- VI. Der Hauptsatz der Linearplanung.- 1. Die konvexe Punktmenge und das konvexe Polygon als Bild eines linearen Ungleichungssystems.- 2. Der Hauptsatz und sein Beweis.- VII. Herleitung eines Rechenverfahrens ohne geometrische Veranschaulichung.- 1. Zeichnerischer Weg.- 2. Entwicklung des Rechenverfahrens aus den Erkenntnissen des zeichnerischen Vorgehens.- 3. Rechnerischer Weg.- VIII. Linearplanung mit drei Variablen.- 1. Die Möglichkeit der geometrischen Veranschaulichung im Raum.- 2. Lösung eines Beispiels auf rechnerischem Weg.- 3. Geometrische Interpretation.- IX. Die Kombinationsmethode und die Lösung von Problemen mit n Variablen.- 1. Die Methode der vollständigen Kombination.- 2. Beispiele.- a) Beispiel mit zwei Variablen.- b) Beispiel mit drei Variablen.- 3. Programmierung und Lösung linearer Optimierungsprobleme nach dem Kombinationsverfahren unter Computereinsatz.- 4. Das Simplexverfahren von G. B. Dantzig.

Inhaltsverzeichnis



A. Lineare Algebra.- I. Grundbegriffe der Mengenlehre zur Behandlung von Gleichungs- und Ungleichungssystemen.- 1. Definition des Mengenbegriffs.- a) Der Mengenbegriff von Cantor.- b) Beispiele für Mengen.- 2. Operationen mit Mengen.- a) Der Durchschnitt von Mengen.- b) Die Vereinigung von Mengen.- 3. Erfüllungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen.- a) Regeln für das Umformen von Gleichungen und Ungleichungen.- b) Erfüllungsmengen von Gleichungen.- c) Erfüllungsmengen von Ungleichungen und ihre graphische Darstellung.- 4. Die Erfüllungsmenge von Gleichungs- und Ungleichungssystemen als Durchschnitt der Erfüllungsmengen der einzelnen Gleichungen und Ungleichungen.- a) Systeme von linearen Gleichungen mit zwei Variablen.- b) Systeme linearer Ungleichungen mit zwei Variablen und ihre graphische Darstellung.- c) Übungsbeispiele.- II. Die Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen.- 1. Rechnerische Lösung von linearen, quadratischen und kubischen Bestimmungsgleichungen mit einer Unbekannten.- a) Die lineare Gleichung.- b) Die quadratische Gleichung.- c) Die kubische Gleichung.- 2. Graphische Lösung von Gleichungen mit Hilfe von Funktionen und Kurven.- 3. Die Gleichung und die Steigung der Geraden.- 4. Methoden zur Lösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten.- 5. Lineare Gleichungssysteme mit drei und mehr Unbekannten.- III. Einführung in die Determinantenrechnung.- 1. Schreibweise für lineare Gleichungssysteme mit n Unbekannten.- 2. Eine Gleichung mit einer Unbekannten.- 3. Die Auflösung von zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und die Definition der Determinanten zweiter Ordnung.- 4. Die Determinante dritter Ordnung bei drei Gleichungen mit drei Unbekannten und die Sarrussche Regel.- 5. Die Determinante n. Ordnung und die Cramersche Regel.- 6. Sätze über Determinanten.- a) Spiegelung an der Hauptdiagonalen.- b) Multiplikation mit einer Konstanten.- c) Addition des Vielfachen einer Reihe zu einer anderen Reihe.- 7. Bestimmung des Wertes von Determinanten beliebiger Ordnung mit Hilfe der Adjunkten.- 8. Übungsbeispiele für dreireihige Determinanten.- 9. Beispiel für eine Determinante 4. Ordnung.- IV. Einführung in die Matrizenrechnung.- 1. Systemmatrix eines linearen Gleichungssystems.- 2. Definition der Matrix.- 3. Die transponierte Matrix.- 4. Die Gleichheit von Matrizen.- 5. Die Summe und die Differenz von Matrizen.- 6. Das Matrizenprodukt.- a) Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl.- b) Das Produkt aus zwei einreihigen Matrizen.- c) Das skalare Produkt.- d) Das Produkt aus einer Matrix und einer Spaltenmatrix.- e) Das allgemeine Matrizenprodukt - Das Produkt aus zwei miteinander verketteten Matrizen.- f) Beispiele.- B. Lineare Programmierung.- I. Einführungsbeispiel aus der Landwirtschaft.- 1. Aufstellung des Ungleichungssystems und seine geometrische Veranschaulichung.- 2. Die Geradenschar der Zielfunktion.- 3. Geometrische und rechnerische Bestimmung der optimalen Lösungen.- II. Ein Transportproblem.- 1. Ermittlung der Zielfunktion.- 2. Bestimmung des Kostenminimums.- 3. Bestimmung eines Gewinnmaximums.- III. Ein Beispiel aus einem Produktionsprozeß.- IV. Beispiel mit 3 Variablen, zurückführbar auf 2 Variable.- V. Mathematisches Zahlenbeispiel.- VI. Der Hauptsatz der Linearplanung.- 1. Die konvexe Punktmenge und das konvexe Polygon als Bild eines linearen Ungleichungssystems.- 2. Der Hauptsatz und sein Beweis.- VII. Herleitung eines Rechenverfahrens ohne geometrische Veranschaulichung.- 1. Zeichnerischer Weg.- 2. Entwicklung des Rechenverfahrens aus den Erkenntnissen des zeichnerischen Vorgehens.- 3. Rechnerischer Weg.- VIII. Linearplanung mit drei Variablen.- 1. Die Möglichkeit der geometrischen Veranschaulichung im Raum.- 2. Lösung eines Beispiels auf rechnerischem Weg.- 3. Geometrische Interpretation.- IX. Die Kombinationsmethode und die Lösung von Problemen mit n Variablen.- 1. Die Methode der vollständigen Kombination.- 2. Beispiele.- a) Beispiel mit zwei Variablen.- b) Beispiel mit drei Variablen.- 3. Programmierung und Lösung linearer Optimierungsprobleme nach dem Kombinationsverfahren unter Computereinsatz.- 4. Das Simplexverfahren von G. B. Dantzig.


Klappentext



Bei der Behandlung linearer Optimierungsprobleme werden mathematische Kenntnisse benotigt, ilber die mancher Leser noch von seiner Schulzeit her ver­ filgen wird. Er kann dann der Losung der gestellten Probleme im nachfolgen­ den Abschnitt der Linearplanung wo~l ohne groj3ere Schwierigkeiten folgen. Den weitaus meisten Lesern wird aber die dort verwendete Symbolik der Mengenlehre noch nicht geliiufig sein. Deshalb wird im ersten Kapitel eine Ein­ filhrung in die Mengenlehre gegeben. Sie wird nur so weit getrieben, als Sprache und Symbolik der Mengenlehre in den spiiteren Ausfilhrungen der Linearplanung Verwendung finden. Es muj3 insbesondere der Begriff der Er­ filllungsmenge von Gleichungs- und Ungleichungssystemen verstiindlich werden. Viele Benutzer dieses Buches werden dankbar sein, wenn in einem zweiten Kapitel diejenigen Grundbegriffe aus der Gleichungs- und Ungleichungslehre und aus der Funktionentheorie aufgefrischt und zusammenfassend dargestellt werden, die in den Rechnungen und Zeichnungen der Linearplanung auf­ treten. Die Behandlung von linearen Gleichungssystemen gibt Veranlassung, dem Leser eine Einfilhrung in die Determinantenlehre anzubieten. Da Determinanten und Matrizen in der WirtschaJtstheorie immer hiiufiger benutzt werden, dilrfte auch dieses Kapitel vie len Benutzern des Buches willkommen sein. Die Beherrschung des Rechnens mit Determinanten ist aber nicht Voraussetzung filr das Ver­ stiindnis der nachfolgenden Ausfilhrungen ilber Linearplanung.